行测数量关系必备要点之方阵问题

行测数量关系必备要点之方阵问题

行测数量关系中方阵问题的核心要点可分为实心方阵与空心方阵两类，具体公式与解题逻辑如下：

实心方阵指行列排列紧密、无空缺的方阵，其核心公式与性质如下：

总人数计算

若方阵为 N行N列（即正方形），总人数 = N2。例：5行5列的方阵总人数为52=25人。

若为 M行N列的长方形阵（非正方形），总人数 = m×n。例：4行6列的长方阵总人数为4×6=24人。

最外层人数计算

正方形方阵：最外层人数 = 4N-4（每边N人，四条边重复计算4个角，需减去）。例：5行5列方阵最外层人数为4×5-4=16人。

长方形方阵：最外层人数 = 2m+2n-4（两条长边与两条宽边之和，减去重复计算的4个角）。例：4行6列长方阵最外层人数为2×4+2×6-4=16人。

关键性质

实心方阵相邻两层的人数相差 8（因每向内一层，每边减少2人，四条边共减少8人）。

若需计算多层实心方阵的总人数，可逐层计算后相加，或利用等差数列求和公式（因每层人数构成公差为-8的等差数列）。

空心方阵指中心部分无排列的方阵，其核心公式与性质如下：

总人数计算

方法1：总人数 = 大实心方阵人数 - 小实心方阵人数。例：最外层为10×10方阵，内层为6×6方阵，则总人数为102-62=64人。

方法2：总人数 = （最外层人数 + 最内层人数）×层数 ÷ 2（等差数列求和公式，公差为-8）。例：最外层32人，最内层8人，层数为（32-8）÷8+1=4层，总人数为（32+8）×4÷2=80人。

方法3：总人数 = 中间层人数 × 层数（中间层人数为最外层与最内层的平均数）。例：中间层人数为（32+8）÷2=20人，层数为4层，总人数为20×4=80人。

层数计算

层数 = （最外层人数 - 最内层人数）÷ 8 + 1。例：最外层32人，最内层8人，层数为（32-8）÷8+1=4层。

中间层人数计算

中间层人数 = （最外层人数 + 最内层人数）÷ 2。例：最外层32人，最内层8人，中间层人数为（32+8）÷2=20人。

关键性质

空心方阵每层人数仍构成公差为 -8 的等差数列。

若已知最外层人数与层数，可反推最内层人数：最内层人数 = 最外层人数 - 8×（层数-1）。例：最外层32人，层数4层，最内层人数为32-8×3=8人。

示例：

解：最外层每边人数 = （60+4）÷4=16人，总人数=162=256人。

解：层数=（40-16）÷8+1=4层，总人数=（40+16）×4÷2=112人。